喫茶店を経営しているのですが、店の雰囲気作りのためにオーディオ機器を置いて自分がコレクションしたCDを店内で流そうと思います。ジャズ喫茶などのように音楽を集客のポイントにしているわけではないので、特別な許可は必要ないですよね？

著作権者の許可が必要です。
音楽を集客のポイントとせず、自分で購入したCDを再生する場合であっても、営業を行う店舗の中で雰囲気作りのために音楽を使用するときは、著作権者から演奏の許可を得る必要があります。またCDをそのまま流すのではなく、自分で編集（コピー）する場合は、実演家・レコード製作者の許可も必要です（通常の場合、権利者の窓口は、著作権者については音楽著作権の管理事業者、実演家・レコード製作者については発売レコード会社となります）。

著作権の保護期間は著作者の死後70年と聞きました。著作者が亡くなって70年以上たっているクラシック音楽のCDは許可なくコピーしていいのですね。

許可が必要な場合があります。
音楽著作権の保護期間は原則的に著作者の死後70年ですが、太平洋戦争前又は戦争中に連合国民が取得した著作権については、通常の保護期間に最長10年程度が加算されることになっています。
また、著作物（歌詞・楽曲）の保護期間が終わっていても、発売から70年以内のレコードであれば、レコード製作者の権利は保護される他、実演家の権利もその実演が行われた時から70年間保護されますので、ご注意下さい（通常の場合、実演家・レコード製作者の権利に関する窓口は発売レコード会社となります）。さらに、実演とレコードの保護期間には特例が存在します。1970年以前の著作権法（旧法）により保護されていた演奏歌唱・レコードについて、旧法の保護期間が新法（1971年以降の著作権法）を上回る場合は旧法の保護期間が適用されます。その特例に基づく保護期間は、最長で新法施行後70年（2040年12月31日）となります。
（注意）クラシック音楽であっても新たに編曲が加えられた場合、編曲について新たに著作権が発生することになり、編曲者の死後70年後まで保護されることになります（通常の場合、編曲者の権利に関する窓口は音楽著作権の管理事業者となります）。

日本製の音楽CDは許可なくコピーできない場合があるということですが、輸入盤のCDなら自由にコピーできますか？

輸入盤CDであっても、「私的使用のための複製」を超えるコピーはできません。
日本はいくつもの著作権条約や著作隣接権条約に加盟しており、その条約の加盟国同士が互いに著作物等をそれぞれの国の法律に基づき保護しあっています。海外のCDであっても、日本の著作権法で保護されています。